3.212 \(\int \frac{(a+b \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=919 \[ -\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (3 b c^3-7 a d c^2+b d^2 c+3 a d^3\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 \sqrt{a+b} \left (b^2 (3 c+d) c^3-2 a b \left (3 c^2+2 d c-d^2\right ) c^2+a^2 d \left (9 c^3-2 d c^2-6 d^2 c+3 d^3\right )\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right ),\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 a \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f \sqrt{c+d \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))} \]

[Out]

(-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*c^3 - 7*a*c^2*d + b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a
+ b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*C
os[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d +
c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/
2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^3*(3*c + d) - 2*a*
b*c^2*(3*c^2 + 2*c*d - d^2) + a^2*d*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]
))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(
d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sq
rt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c +
d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d +
c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c
+ d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*
Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(b*c -
a*d)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.13244, antiderivative size = 919, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.241, Rules used = {3942, 2989, 3053, 2811, 2998, 2818, 2996} \[ -\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (3 b c^3-7 a d c^2+b d^2 c+3 a d^3\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 \sqrt{a+b} \left (b^2 (3 c+d) c^3-2 a b \left (3 c^2+2 d c-d^2\right ) c^2+a^2 d \left (9 c^3-2 d c^2-6 d^2 c+3 d^3\right )\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 a \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f \sqrt{c+d \sec (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*c^3 - 7*a*c^2*d + b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a
+ b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*C
os[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d +
c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/
2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^3*(3*c + d) - 2*a*
b*c^2*(3*c^2 + 2*c*d - d^2) + a^2*d*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]
))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(
d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sq
rt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c +
d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d +
c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c
+ d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*
Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(b*c -
a*d)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])

Rule 3942

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Dist
[(Sqrt[d + c*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])/(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), Int[
((b + a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n)/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m + 1/2] && IntegerQ[n + 1/2] && LeQ[-2, m + n, 0]

Rule 2989

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)
*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[
e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(m - 1) + a*d*(a*A*c + b*B*c - (
A*b + a*B)*d)*(n + 1) + (b*(b*d*(B*c - A*d) + a*(A*c*d + B*(c^2 - 2*d^2)))*(n + 1) - a*(b*c - a*d)*(B*c - A*d)
*(n + 2))*Sin[e + f*x] + b*(d*(A*b*c + a*B*c - a*A*d)*(m + n + 1) - b*B*(c^2*m + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^2,
x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2,
0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1]

Rule 3053

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[C/b^2, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Dist[1/b^2, Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b
*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a
*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2811

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
(2*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi[(b*(c + d))/(d*(a + b)), ArcSin[(Rt[(a + b
)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))])/(d*f*
Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^{5/2}} \, dx &=\frac{\left (\sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\cos (e+f x) (b+a \cos (e+f x))^{3/2}}{(d+c \cos (e+f x))^{5/2}} \, dx}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (2 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\frac{1}{2} (b c-a d) (3 b c-a d)-\frac{1}{2} \left (3 a^2 c d+b^2 c d-2 a b \left (3 c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x)+\frac{3}{2} a^2 \left (c^2-d^2\right ) \cos ^2(e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (a^2 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\sqrt{d+c \cos (e+f x)}}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)}} \, dx}{c^3 \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (2 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\frac{1}{2} c^2 (b c-a d) (3 b c-a d)-\frac{3}{2} a^2 d^2 \left (c^2-d^2\right )+c \left (-3 a^2 d \left (c^2-d^2\right )+\frac{1}{2} c \left (-3 a^2 c d-b^2 c d+2 a b \left (3 c^2-d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c^3 \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 a \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left ((b c-a d) \left (3 b c^3-7 a c^2 d+b c d^2+3 a d^3\right ) \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{1+\cos (e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c^2 (c-d) \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{\left (\left (b^2 c^3 (3 c+d)-2 a b c^2 \left (3 c^2+2 c d-d^2\right )+a^2 d \left (9 c^3-2 c^2 d-6 c d^2+3 d^3\right )\right ) \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}} \, dx}{3 c^3 (c-d) \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (3 b c^3-7 a c^2 d+b c d^2+3 a d^3\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 \sqrt{a+b} \left (b^2 c^3 (3 c+d)-2 a b c^2 \left (3 c^2+2 c d-d^2\right )+a^2 d \left (9 c^3-2 c^2 d-6 c d^2+3 d^3\right )\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d) f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 a \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 d (b c-a d) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.63544, size = 1930, normalized size = 2.1 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

((d + c*Cos[e + f*x])^3*Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*((2*(-(b*c*d*Sin[e + f*x]) + a*d^2*Sin[e + f*x
]))/(3*c*(c^2 - d^2)*(d + c*Cos[e + f*x])^2) + (2*(3*b*c^3*Sin[e + f*x] - 7*a*c^2*d*Sin[e + f*x] + b*c*d^2*Sin
[e + f*x] + 3*a*d^3*Sin[e + f*x]))/(3*c*(c^2 - d^2)^2*(d + c*Cos[e + f*x]))))/(f*(b + a*Cos[e + f*x])*(c + d*S
ec[e + f*x])^(5/2)) + ((d + c*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*((4*(b*c - a*d)*(3*a
*b*c^3 + a^2*c^2*d - 4*b^2*c^2*d + a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c +
d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]
^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c
- a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e +
f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]) + 4*(b*c - a*d)*(3*a^2*c^3 - 3*b^2*c^3 + 4*a*b*c^2*d + a^2*c*d^2 - b^2*c*d^2 -
4*a*b*d^3)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2
)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticF[A
rcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b
)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]) - (Sqrt[((
c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-
(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(b*c - a*d)/((a + b)*
c), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((
a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])) + 2*(-3*a*
b*c^3 + 7*a^2*c^2*d - a*b*c*d^2 - 3*a^2*d^3)*((Sqrt[(-a + b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(e + f*x)/2]*Sqrt[d + c*Cos[
e + f*x]]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[(-a + b)/(a + b)]*Sin[(e + f*x)/2])/Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]], (2*(
b*c - a*d))/((-a + b)*(c + d))])/(a*c*Sqrt[((a + b)*Cos[(e + f*x)/2]^2)/(b + a*Cos[e + f*x])]*Sqrt[b + a*Cos[e
+ f*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x]))/((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x]))
]) - (2*(b*c - a*d)*(((b*c + (a + b)*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e
+ f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))
]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]
], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c
*Cos[e + f*x]]) - ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*C
sc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e +
f*x]*EllipticPi[(b*c - a*d)/((a + b)*c), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c
- a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]
*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])))/(a*c) + (Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]))))/(
3*c*(c - d)^2*(c + d)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.536, size = 13060, normalized size = 14.2 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}{{\left (d \sec \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^(3/2)/(d*sec(f*x + e) + c)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sqrt{d \sec \left (f x + e\right ) + c}}{d^{3} \sec \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, c d^{2} \sec \left (f x + e\right )^{2} + 3 \, c^{2} d \sec \left (f x + e\right ) + c^{3}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(f*x + e) + a)^(3/2)*sqrt(d*sec(f*x + e) + c)/(d^3*sec(f*x + e)^3 + 3*c*d^2*sec(f*x + e)^2 + 3*
c^2*d*sec(f*x + e) + c^3), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))**(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}{{\left (d \sec \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^(3/2)/(d*sec(f*x + e) + c)^(5/2), x)